2006年软件工程硕士高等数学考试大纲

1、 函数、极限与连续

考试内容

函数的概念及表示法、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性、复合函数、反函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数、简单应用问题函数关系的建立、数列极限与函数极限的定义以及它们的性质、无穷小的性质及无穷小的比较、极限的四则运算、极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限、函数连续的概念、函数间断点的类型、初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值、最小值定理和介值定理）

考试要求

（1）理解函数的概念、掌握函数的表示方法

（2）了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性

（3）理解符合函数及分段函数的概念、了解反函数及隐函数的概念

（4）掌握基本初等函数的性质及其图形

（5）会建立简单应用问题中的函数关系式

（6）了解极限的概念，了解函数的左极限与右极限的概念，以及极限存在与左右极限之间的关系

（7）掌握极限的性质及四则运算法则

（8）掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

（9）了解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

（10）了解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型

（11）了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值、最小值定理和介值定理），并会应用这些性质。

2．一元函数微积分学

考试内容

导数与微分的概念，导数的物理意义与几何意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线、基本初等函数的导数、导数与微分的四则运算、符合函数、反函数以及参数方程所确定的函数的微分法，高阶导数的概念、某些简单函数的n阶导数、一阶微分形式的不变性、罗尔定理、拉格朗日中值定理，柯西中值定理、泰勒公式、洛必达法则、函数单调性的判定、函数的极值及其求法、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线、函数图形的描绘、函数最大值的求法及简单应用、弧微分

考试要求

（1）了解导数与微分的概念，了解导数与微分的关系，了解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，了解函数的可导性与连续性之间的关系。

（2）掌握导数的四则运算法则和符合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

（3）了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数

（4）会求分段函数的一阶、二阶导数

（5）会求隐函数以及参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数

（6）理解并会用罗尔定理，拉格朗日中值定理

（7）了解并会用柯西中值定理和泰勒定理

（8）理解函数的极限概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极限值的方法，掌握函数最大最小值的求法及简单应用

（9）会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点，会求函数图形的水平和垂直渐近线

（10）掌握用洛必达法则求未定式极限的方法

3、 函数积分学

考试内容

原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本积分公式、定积分的概念和性质，定积分中值定理，变上限定积分及其导数，牛顿－莱布尼茨公式、不定积分的换元积分法和分部积分法、广义积分的概念及其计算、定积分的应用。

考试要求

（1）了解原函数、不定积分和定积分的概念

（2）掌握不定积分和定积分的基本性质及定积分中值定理，掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的换元积分法和分部积分法

（3）理解变上限定积分定义的函数及其求导定理，掌握牛顿－莱布尼茨公式

（4）了解广义积分的概念并会计算广义积分

（5）掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量，如平面图形的积分、平面曲线的弧长、旋转体的体积及面积、平行截面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力等

4、 向量代数与空间解析几何

考试内容

向量的概念：向量的线性运算，向量的数量积和向量的概念及运算，两向量垂直平行的条件，两向量的夹角，向量的坐标表达式及其运算，单位向量，方向数与方向余弦、曲面方程和空间曲线方程的概念，平面方程、直线方程、平面与平面、平面与直线、直线与直线的平行、垂直的条件和夹角、点到平面和点到直线的距离、球面、母线平行于坐标轴的拄面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面方程，常用的二次曲面方程及其图形，空间曲线的参数方程和一般方程，空间曲线在坐标面上的投影曲线方程

考试要求

（1）理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示

（2）掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），了解两个向量垂直、平行的条件

（3）掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表示式、以及用坐标表示式进行向量运算的方法

（4）掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题

（5）理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面方程及母线平行于坐标轴的柱面方程

（6）了解空间曲线的参数方程和一般方程

（7）了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。

5．多元函数微分学

考试内容

多元函数的概念 而原函数的几何意义 而原函数的极限和连续概念 有界闭区域上多元连续函数的性质 多元函数偏导数和全微分的概念 全微分存在的必要条件和充分条件 多元复合函数、隐函数的求导法 二阶偏导数 方向导数和梯度的概念及其计算 空间曲线的切线和法平面 曲面的切平面和法线 多元函数极值和条件极值的概念 多元函数极值的必要条件 二元函数极值的充分条件 极值的求法 拉格朗日乘数法多元函数的最大值、最小值极其简单应用

考试要求

（1）理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。

（2）了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。

（3）理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充要条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。

6．多元函数积分学

考试内容

二重积分的概念及性质二重积分的计算和应用两类曲线积分的概念、性质及计算两类曲线积分的关系格林公式平面曲线积分与路径无关的条件已知全微分求原函数

考试要求

（1）理解二重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。

（2）掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法。

（3）理解两类曲线积分的概念了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。

（4）掌握计算两类曲线积分的方法。

（5）掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。

（6）会用重积分、曲线积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、质心等）。

7．无穷极数

考试内容

常数项级数的收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要性几何级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与p 级数以及它们的收敛性正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法交错级数与莱布尼茨定理任意项级数的绝对收敛与条件收敛函数项级数的收敛域与和函数的概念幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法 ex，sinx，cosx，ln(1+x)，(1+x)a的麦克劳林展开式。

考试要求

（1）理解常数项级数的收敛与发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质与收敛的必要条件。

（2）掌握几何级数与p 级数的收敛的必要条件。

（3）掌握正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法。

（4）掌握交错级数的莱布尼茨定理。

（5）了解任意项级数的绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。

（6）了解函数项级数的收敛域与和函数的概念。

（7）掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。

（8）了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些简单幂级数在其收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。

（9）掌握 ex，sinx，cosx，ln(1+x)，(1+x)a的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。

8．常微分方程

考试要求

常微分方程的概念微分方程的解、阶、通解、初始条件和特解变量可分离的方程齐次方程一阶线性方程可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数非齐次线性微分方程

微分方程的简单应用

考试要求

（1）了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念。

（2）掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。

（3）会解齐次方程。

（4）会用降阶法解下列方程：y (n) = f ( x )， y”= f ( x ,y’)， y”=f ( y, y’)

（5）理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。

（6）掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。

（7）会求自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。

（8）会用微分方程解决一些简单的应用问题。